上 Line ”wŒi ‰Âˆ¤‚¢ ƒCƒ‰ƒXƒg 610049

Cones Cone C Rn such that x2C =) tx2C for all t 0 Convex cone cone that is also convex, ie, x 1;x 2 2C =) t 1x 1 t 2x 2 2C for all t 1;t 2 0 26 2 Convex sets 0 x1 x2 Figure 24 The pie slice shows all points of the form !1x1 !2x2,where!1, !2!0

Line ”wŒi ‰Âˆ¤‚¢ ƒCƒ‰ƒXƒg-2 Let W have the exponential distribution with mean 1 Explain how W can be used to construct a random variable Y = g(W) such that Y is uniformly distributed on {0,1,2} 3 Let W have the density function f given by f(w) = 2/w3 for w > 1 and f(w) = 0 for w ≤ 1 Set Y = α βW, where β > 0 In terms of α and β, determineSo P (1;0;0)2 l The equation of the line, in parametric form, is x =15t y =¡2t z =¡3t Solution #2 Another way to &nd the equation of this line is to solve the system xyz =1 x¡2y 3z =1 directly in terms of z In otherwords, we choose z as parameter To thisend, we subtract the second equation from the &rst one to get 3y ¡2z =0=) y = 2 3 z

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Space X such that C n ⊃ C n1 for each n Show that the intersection of these sets is nonempty Hint One has S (X−C i)=X− T C i Suppose the intersection is empty Then we actually have X=X− \∞ i=1 C i = ∞ i=1 (X−C i), so the sets X− C i form an open cover of X Since X is compact, it is covered by finitely many sets, say theRestriction of a convex function to a line f Rn → R is convex if and only if the function g R → R, g(t) = f(xtv), domg = {t xtv ∈ domf} is convex (in t) for any x ∈ domf, v ∈ Rn can check convexity of f by checking convexity of functions of one variable